Задача 1.
Дана матриця втрат:
Знайти рандомізований розв’язок за допомогою критерію Неймана-Пірсона при умові, що:
а) l = 4,2 (L1);
б) l = 4,2 (L2).
Рішення.
Для геометричної інтерпретації задачі побудуємо систему координат, осі якої відповідають втратам при β1 та β2:
а) На графіку позначаємо граничне значення l* та виключаємо точки, в яких значення більше.
В даному випадку до цих точок відносяться α2, α4, α6, α7.
Найменшому значенню за станом, що контролюється, відповідає точка α*.
Для її знаходження використовуємо формулу:
Оскільки контрольований стан – L1, підставляємо у формулу значення першого рядку. Отримаємо:
1,5x + 5(1 - x) = 4,2
-3,5x = -0,8
x = 0,229 – ймовірність розв’язку α3.
Тоді x = 1 - 0,229 = 0,771 – ймовірність розв’язку α6.
Отже, рандомізований розв’язок матиме вигляд
(0; 0; 0,229; 0; 0; 0,771; 0; 0)
б) В даному прикладі контрольований стан L2.
На графіку позначаємо граничне значення l* та виключаємо точки, в яких значення більше.
В даному випадку цими точками є α1, α2, α5, α7, α8.
Найменшому значенню за станом, що контролюється, відповідає точка α*.
Для її знаходження використовуємо формулу:
Оскільки контрольований стан – L2, підставляємо у формулу значення другого рядку. Отримаємо:
2,4x - 8,5(1 - x) = 4,2
-6,1x = -4,3
x = 0,705 – ймовірність розв’язку α3.
Тоді x = 1 - 0,705 = 0,295 – ймовірність розв’язку α5.
Отже, рандомізований розв’язок матиме вигляд
(0; 0; 0,705; 0; 0,295; 0; 0; 0).
Задача 2. У деякої людини, що працює з дому, ввечері вимикається світло. На завтра у неї призначена важлива нарада, до якої потрібно підготуватися. Відносно недалеко від дому знаходиться кав’ярня, що працює на генераторі, але якщо ця людина вирішить займатися там, то втратить час на дорогу та гроші на напій (який необхідно придбати, щоб користуватися послугами даного кафе). Робочий комп’ютер людини заряджений, тож вона має змогу на підготовку вдома, але якщо до ранку світло не з’явиться, вона буде змушена пропустити нараду (що може негативно сказатися на її кар’єрі). Якщо ж ця людина ввечері відпочиватиме, то завтрашній виступ може виявитися недосконалим (але понесе менші втрати, ніж його пропуск).
Побудувати модель задачі та знайти рандомізований розв’язок за критерієм Неймана-Пірсона, припустивши, що дана людина скоріше за все оптимістична, але світло з більшою ймовірністю не з’явиться.
Рішення.
Можливі стратегії:
α1 – підготовка у кафе
α2 – підготовка вдома
α3 – відпочинок
“Стани природи”:
β1 – світло з’явиться
β2 – світло не з’явиться
Оцінивши можливі витрати, побудуємо матрицю витрат:
Нехай L2 – контрольований стан, для якого граничне значення l* = 4.
Для геометричної інтерпретації задачі побудуємо систему координат, осі якої відповідають втратам при β1 та β2:
На графіку позначаємо граничне значення l* та виключаємо точки, в яких значення більше (у нашому випадку α1).
Отримаємо множину, обмежену точками α1, α2 , α. Найменшому значенню за станом, що контролюється, відповідає точка α.
Для її знаходження використовуємо формулу:
Оскільки контрольований стан – L2, підставляємо у формулу значення другого рядку. Отримаємо:
7x + 2(1 - x) = 4
5x = 2
x = 0,4
Тобто x = 0,4 – ймовірність розв’язку α1, тоді x = 1 - 0,4 = 0,6 – ймовірність розв’язку α3.
Тож рандомізований розв’язок матиме вигляд (0,4; 0; 0,6).
Задача 3. Місто готується до фестивалю національної їжі. Протягом минулого тижня тривав сезон дощів, тож мер наполягає на прийнятті заходів, які допоможуть фестивалю відбутися навіть при невдалій погоді. Серед варіантів роздивляються:
- великі намети та дерев’яні настили
- невеликі компактні намети (біля самого фудкорту та столиків) (економно)
- перенести захід у просторне приміщення (дорого, але найбільш надійно)
- нічого не робити та сподіватися, що дощ не піде
Побудувати модель задачі та знайти рандомізований розв’язок за критерієм Неймана-Пірсона, припустивши, що організатори заходу оптимісти, але дощ з більшою ймовірністю відбудеться.
Рішення.
Можливі стратегії:
α1 – поставити великі намети та дерев’яні настили
α2 – поставити невеликі компактні намети
α3 – перенесення заходу у просторне приміщення
α4 – нічого не робити
Стани природи:
β1 – дощ піде
β2 – відсутність дощу
Оцінивши можливі витрати, побудуємо матрицю витрат:
Нехай L1 – контрольований стан, для якого граничне значення l* = 4,2.
Для геометричної інтерпретації задачі побудуємо систему координат, осі якої відповідають втратам при β1 та β2:
На графіку позначаємо граничне значення l* та виключаємо точки, в яких значення більше (у нашому випадку α2 та α3).
Найменшому значенню за станом, що контролюється, відповідає точка α*.
Для її знаходження використовуємо формулу:
Оскільки контрольований стан – L1, підставляємо у формулу значення першого рядку. Отримаємо:
0,8x + 5,8(1 - x) = 4,2
-5x = -1,6
x = 0,32
Тобто x = 0,32 – ймовірність розв’язку α4, тоді x = 1 - 0,32 = 0,68 – ймовірність розв’язку α3.
Тож рандомізований розв’язок матиме вигляд
(0; 0; 0,68; 0,32).
Задача 4. Кіностудія збирається створювати трейлер для нового фільму. Для цього завдання вона може найняти маркетолога, який буде діяти за загальною концепцією, використовуючи яскравіші зображення та надмірно пояснюючи сюжет, щоб глядач знав, чого слід очікувати. Також є опція запросити митця, який зробить трейлер, орієнтований на зацікавленість аудиторії, роблячи його кінематографічно привабливим та позбавленим спойлерів (більш ризиковане рішення). Кіностудія має можливість найняти обох працівників для співпраці, але їй доведеться платити за роботу вдвічі більше.
Побудувати модель задачі та знайти рандомізований розв’язок за критерієм Неймана-Пірсона, припустивши, що аудиторія, скоріше за все, втомилася від однотипних трейлерів, але кіностудія з меншою ймовірністю піде на ризик.
Рішення.
Можливі стратегії:
α1 – найняти маркетолога
α2 – найняти творчу людину
α3 – найняти обох
“Стани природи”:
β1 – більшість глядачів трейлеру оцінили б креативність
β2 – більшість глядачів трейлеру звикли до концептуальності
Оцінивши можливі витрати, побудуємо матрицю витрат:
Нехай L1 – контрольований стан, для якого граничне значення l* = 5,4.
Для геометричної інтерпретації задачі побудуємо систему координат, осі якої відповідають втратам при β1 та β2 :
На графіку позначаємо граничне значення l* та виключаємо точки, в яких значення більше (у нашому випадку α2).
Найменше значення за станом, що контролюється, співпадає з точкою α3.
Тобто ймовірність цього розв’язку дорівнює 1.
Отже, рандомізований розв’язок матиме вигляд
(0; 0; 1).
Задача 5.Бабуся має два невеликих рівних участки землі, який планує засадити на продажу семенами А чи семенами В. Семена А мають велику плодовитість при сонячній погоді, а семена Б, навпаки, при дощовій. Ці семена не доцільно саджати на одному участку, але жінка має можливість засадити кожен з участків різними (але тоді при будь-якій погоді втратить половину врожаю).
Побудувати модель задачі та знайти рандомізований розв’язок за критерієм Неймана-Пірсона, припустивши, що погода, з більшою ймовірністю буде сонячною, але плоди з семен Б є дорожчими.
Рішення.
Можливі стратегії:
– посадити семена А
– посадити семена Б
– половину площі засадити семенами А, а іншу половину – семенами Б
Стани природи:
– сонячна погода
– рясні дощі
Оцінивши можливі витрати, побудуємо матрицю витрат:
Нехай L2 - контрольований стан для якого граничне значення l*=2.
Для геометричної інтерпретації задачі побудуємо систему координат, осі якої відповідають втратам при β1 та β2, де αі=α1=α3=(2;3):
Виключаючи точки, значення яких більше за позначене граничне l*, з'ясуємо, що жодна з точок заданої матриці не буде належати до платіжної множини.
Тож дана задача не має рандомізованого розв'язку.